庞加莱猜想是什么？为什么难以证明？

庞加莱猜想一个带有基本意义的拓扑学猜想，这也让庞加莱猜想的证明难度非常高。

从拓扑学中来看，庞加莱猜想的意义几乎等同于证明1+1=2，是一个具有基础意义的难题，因此庞加莱猜想也是七个千禧年难题大奖之一。

庞加莱猜想的表述十分简单，但是却让 人难以理解：任何一个单连通的，闭合的三维流形一定同胚于一个三维的球面。

一位低调的数学家佩雷尔曼，证明了庞加莱猜想。

庞加莱猜想是什么意思？

庞加莱猜想的表述听起来非常复杂，但庞加莱猜想表述的内容非常简单，意思就是一个封闭的三维空间中，如果三维空间上的每条曲线，都能收缩成一点，那么这个空间就是一个三维球面。这里的三维球面并非完美的圆形，苹果之类的特殊曲面，也可以称之为球面。

再通俗一些，就是用一个橡皮筋，绑住一个三维体块，如果可以把橡皮筋重新聚集到一起，那么这个三维面就一定是三维球面。

想象一下，如果我们把橡皮筋，绑在一个球上面，然后用力拉橡皮筋，可以很快将整个橡皮筋聚集到我们的手里。

但是我们如果把橡皮筋绑到一个甜甜圈上面，橡皮筋就会被圆环的体积所阻拦，我们用力拉橡皮筋，也无法将橡皮筋全部聚集起来，除非在甜甜圈上切一个缺口。

根据庞加莱猜想，我们就可以得出结论——能够把橡皮筋全部聚集起来的，就是三维球面，而无法聚集橡皮筋的，就是其他三维体。

庞加莱猜想的实际含义非常简单，正因为庞加莱猜想非常简单，属于基础命题，这也让庞加莱猜想的证明非常困难。

庞加莱猜想的证明：

庞加莱猜想被提出后，就吸引了很多拓扑学家参加证明，但是一直没有数学家证明成功，很多数学家甚至利用更高维度的空间去证明庞加莱猜想，但收效甚微。

直到2002年，数学家佩雷尔曼的一篇文章，直接发布到了网络上，很多数学家也收到了佩雷尔曼的文章摘要，这篇文章的发表，让很多数学家认识到庞加莱猜想被证明的可能性。

佩雷尔曼没有对自己的学术研究进行任何保密，其本人也表示，自己从没想要成为庞加莱猜想的唯一证明人，如果有人利用自己的文章证明了庞加莱猜想，那他也会很高兴。

虽然证明了庞加莱猜想，但佩雷尔曼拒绝了相关的奖项荣誉以及奖金。

总结：

在数学界中，越是简单的基础猜想，证明的难度越高，比如我们所熟知的1+1=2，直到今天也无法进行证明。

庞加莱猜想虽然是一个拓扑学的几何猜想，但是也是非常重要的基础意义命题，庞加莱猜想作为拓扑学的基础命题，可以帮助人类更好的了解三维空间。

庞加莱猜想也并没有止步于三维空间，随着庞加莱猜想的证明，拓扑学家开始将庞加莱猜想应用到高维空间，帮助人类了解高维度空间的规则，这些猜想被称为“高维庞加莱猜想”。